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미적분학을 이용한 원주율 계산식을 계산하는 방법중  arctan(x) 의 멱급수 전개를 이용하는 것이 제일 많이 사용됩니다. arctan(x) 의 멱급수는
b2.GIF
 이와 같이 표현이 되며


b3.GIF
이므로

b4.GIF

 복잡하긴 하지만 무한히 반복되는 멱급수의 합으로 원주율을 계산할 수 있습니다. 위의 공식을 그레고리가 처음 발견하였으며 그레고리급수라고 부릅니다. 이 급수가 미적분학을 이용한 원주율 계산의 시발점이 됩니다.

하지만 그레고리 급수는 수렴의 속도가 아주 느리다는 문제가 있습니다.

그래서 두 배각 공식 등을 이용하여 계산의 횟수를 줄이고 더 정확한 원주율을 계산할 수 있는 공식을 발견하게 됩니다.

이제 아래에 원주율을 계산한 많은 수학자들의 계산 결과를 한번 살펴보도록 하겠습니다.물론 아래의 모든 공식이  arctan(x) 를 사용한 것은 아닙니다.

1.윌리스(1616~1675)

 b6.GIF

2.그레고리 (1638~1675), 라이프니쯔(1673)

 b7.GIF

2. 뉴턴(1642~1727)

 b8.GIF

3.샤프(1705)

 b10.GIF

4. 마틴(1706)

 b11.GIF

5. 오일러(1707~83)

 b12.GIF

6.오일러(1707~83)

 b13.GIF

7.해튼(1737~1823)

 b14.GIF

8.가우스(1777~1855)

 b15.GIF

9.베가(1789)

 b16.GIF

10.오일러-베가

 b17.GIF

11.다제(1804~61)

 b18.GIF

12.러더퍼드(1841)

 b19.GIF 

13.크라우젠(1847)

 b20.GIF

14.선크스(1853)
b21.GIF

마지막으로 아래에 윌리스공식과 그레고리급수, 오일러-베가 공식의 계산 차수에 따른 원주율에 대한 수렴성을 비교하는 그래프를 올립니다. 
계산을 100차 까지 계산하였을 때 윌리스 공식보다는 그레고리 급수가 약간 더 빨리 수렴하며 그레고리 급수보다는 오일러-베가공식이 아주 빠른 속도로 수렴하는 모습을 보입니다.  오일러-베가 공식은 10차까지만 계산하여도 원주율에 아주 가까이 근사하는 모습을 보여주었습니다.

수렵성비교.GIF

그리고 아래 참조를 보시면 공식 만이 아니라 일부 공식에 대해 재미있는 증명도 같이 올라와 있습니다. 한번 보시길 바랍니다.

참조 : http://blog.naver.com/dolpungk/80027092228

조회 수 :
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등록일 :
2012.05.29
20:58:41
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