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여러분이 기본적으로 알고 있는 수학의 규칙중에 0이아닌 두 정수에 대해 
1) 양수 * 양수 = 양수
2) 양수 * 음수 = 음수
3) 음수 * 양수 = 음수
4) 음수 * 음수 = 양수

이번 이야기는 이 네가지 규칙이 왜 그런지에 대해 이해하기위한 증명을 다룰까 합니다.

먼저 덧셈과 곱셈의 정의를 구해야 겠지요 일단 이번 게시물에서는 정수의 곱셈에 대해 증명해 보도록 하겠습니다 유리수의 곱셈도 비슷하게 증명이 가능합니다. (자연수에는 음수가 존재하지 않으므로 위의 정리를 증명하는것 자체가 불가능하겠지요?)

먼저 자연수와 정수의 덧셈, 곱셈의 정의를 보면 다음과 같습니다.
1) 자연수의 덧셈(페아노 공리계)
   a+1 := a'
   a+b' := (a+b)'

2) 정수의 덧셈
   두 정수를 각각 (a - b), (c - d)로 표현할 때 (a, b, c, d는 자연수) 
   (a - b) + (c - d) = ((a+c) - (b+d))

3) 자연수의 곱셈 (페아노 공리계)
   a * 1 := a 
   a * b = a + a + ... + a (a의 b번 덧셈)

4) 정수의 곱셈
   두 정수를 각각 (a - b), (c - d)로 표현할 때 (a, b, c, d는 자연수) 
   (a - b) * (c - d) = ((a*c + b*d) - (b*c + a*d))

이제 증명을 해봅시다

(1) 양수 * 양수 = 
    a > 0 이고 b > 0 일경우 a * b = (a - 0) * (b - 0)  = ((a*b + 0*0) - (b*0 + a*0)) = ((a*b) - 0) 이므로 곱셈의 결과는 양수입니다.(양수 * 양수 = 양수)
(2) 양수 * 음수 = 
    a > 0 이고 b < 0 일경우 c가 b의 덧셈의 역원이라 할 때 a * b = (a - 0) * (0 - c)  = ((a*0 + 0*c) - (c*a + 0*0)) = (0 - (c*a)) 이므로 곱셈의 결과는 음수입니다.(양수 * 음수 = 음수)
(3) 음수 * 양수
    a < 0 이고 b > 0 일경우 c가 a의 덧셈의 역원이라 할 때 a * b = (0 - c) * (b - 0)  = ((0*b + c*0) - (c*b + 0*0)) = (0 - (c*b)) 이므로 곱셈의 결과는 음수입니다.(음수 * 양수 = 음수)

(4) 음수 * 음수
    a < 0 이고 b < 0 일경우 c가 a의 덧셈의 역원이고 d가 b의 덧셈의 역원이라 할 때 a * b = (0 - c) * (0 - d)  = ((0*0 + c*d) - (0*0 + 0*0)) = ((c*d) - 0) 이므로 곱셈의 결과는 양수입니다.(음수 * 음수 = 양수)


이렇듯 정의를 정확히 알면 이에 따른 정리는 쉽게 풀리는 경우가 많습니다.

추가적으로 정수의 양수와 음수의 덧셈에 대한 성질에 대해 알아봅시다.
a) 양수 + 양수 = 
   a > 0 이고 b > 0 일경우 a + b = (a - 0) + (b - 0) = ((a+b) - (0+0)) 이므로 양수
b) 양수 + 음수 = 
   a > 0 이고 b < 0 일경우 c가 b의 덧셈의 역원이라 할 때 a + b = (a - 0) + (0 - c) = ((a+0) - (0+c)) 이므로 a > c 이면 양수, a < c이면 음수, a = c 이면 0
c) 음수 + 양수 = 
   a < 0 이고 b > 0 일경우 c가 a의 덧셈의 역원이라 할 때 a + b = (0 - c) + (b - 0) = ((0+b) - (c+0)) 이므로 b > c 이면 양수, b < c이면 음수, b = c 이면 0
d) 음수 + 음수 = 
   a < 0 이고 b < 0 일경우 c가 a의 덧셈의 역원이고 d가 b의 덧셈의 역원이라 할 때 a + b = (0 - c) + (0 - d) = ((0+0) - (c+d)) 이므로 음수


위와 같이 증명이 됩니다.

그럼 유리수 체계의 덧셈, 곱셈의 정의를 이용하여 위와 같은 증명을 한번 해 시길 바랍니다.

5) 유리수의 덧셈
   두 유리수를 b/a, d/c로 표현할 때 (a, c 는 0이 아닌 정수, b, d는 정수) 
   b/a + d/c = (b*c + a*d) / (a*c)

6) 유리수의 곱셈
   두 유리수를 b/a, d/c로 표현할 때 (a, c 는 0이 아닌 정수, b, d는 정수) 
   b/a * d/c = (b*d) / (a*c)

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2012.05.29
20:56:47
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